C語言使用DP動態(tài)規(guī)劃思想解最大K乘積與乘積最大問題

來源：本站原創(chuàng)|時間：2020-01-10|欄目：C語言|點擊：次

最大K乘積問題
設(shè)I是一個n位十進制整數(shù)。如果將I劃分為k段，則可得到k個整數(shù)。這k個整數(shù)的乘積稱為I的一個k乘積。試設(shè)計一個算法，對于給定的I和k，求出I的最大k乘積。
編程任務(wù)：
對于給定的I 和k，編程計算I 的最大k 乘積。
需求輸入：
輸入的第1 行中有2個正整數(shù)n和k。正整數(shù)n是序列的長度；正整數(shù)k是分割的段數(shù)。接下來的一行中是一個n位十進制整數(shù)。（n<=10）
需求輸出：
計算出的最大k乘積。

解題思路：DP
設(shè)w(h,k) 表示: 從第1位到第K位所組成的十進制數(shù),設(shè)m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘積,則可得到如下經(jīng)典的DP方程：

if(j==1) m(i,j) = w(1,i) ;
if(j >=1 && j<=i) m(i,j) = max{m(d,j-1)*m(d+1,i)}

其中： 1<=d< i (即從1開始一直到i-1 中找最大值

else if(i < j) m(i,j) = 0 ;

代碼示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/
long w[MAXN][MAXN]={{0,0}} ;
 
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++) /*分成1段*/
  m[i][1] = w[1][i];
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /* DP 過程*/
  for(j=2; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
 
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    
    
  }
  
}
      
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*讀入數(shù)據(jù)*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   w[i][i]= a[i] ;
   for(j=i+1 ; j<= n; j++)
   w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
 }
 
 /*
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   for(j=1 ; j<= n; j++)
   printf("%d ",w[i][j]);
   printf(" ");
 }
 */
 
 maxdp(n,k,a) ;

 
 printf("%ld ",m[n][k]) ;
 
 /*system("pause");*/
 
 return 0;
}

乘積最大問題：

（和最大k乘積問題差不多，都是用DP，不過有些細節(jié)要注意一下，比如：位數(shù)小于乘號，則為0)

描述 Description
今年是國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟確定的“2000——世界數(shù)學(xué)年”，又恰逢我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生誕辰90周年。在華羅庚先生的家鄉(xiāng)江蘇金壇，組織了一場別開生面的數(shù)學(xué)智力競賽的活動，你的一個好朋友XZ也有幸得以參加?；顒又?，主持人給所有參加活動的選手出了這樣一道題目：
設(shè)有一個長度N的數(shù)字串，要求選手使用K個乘號將它分成K+1個部分，找出一種分法，使得這K+1個部分的乘積能夠為最大。
同時，為了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個例子：
有一個數(shù)字串: 312，當(dāng)N=3，K=1時會有以下兩種分法：
（1）3*12=36
（2）31*2=62
這時，符合題目要求的結(jié)果是： 31*2=62
現(xiàn)在，請你幫助你的好朋友XZ設(shè)計一個程序，求得正確的答案。
輸入格式 Input Format
程序的輸入共有兩行：
1.第一行共有2個自然數(shù)N，K (6<=N<=40，1<=K<=6)
2.第二行是一個K度為N的數(shù)字串。

輸出格式 Output Format
屏幕輸出(結(jié)果顯示在屏幕上)，相對于輸入，應(yīng)輸出所求得的最大乘積（一個自然數(shù)）。

解法：典型的DP問題
設(shè)w(h,q)表示從h位開始的q位數(shù)字組合所成的十進制數(shù),m(i,j)表示前i位數(shù)字串所得的最大j乘積,初始值為：

m(i,0) = w(1,q) ;

動規(guī)方程如下所示：

if (j==0) m(i,j) = w(1,q) ;
else if(j>0)
m(i,j) = max { m(d,j-1)*w(d+1,i-d) }

ps: 其中 1 <= d < i

代碼：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/

long my_10_pow(int t)
{
  long sum=1 ;
  int y;
  for(y=1 ; y<= t ; y++)
  sum *= 10 ;
  
  return sum ;
}

long w(int start,int len,int *a)/*把數(shù)字串轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的十進制數(shù)*/
{
  long res = 0 ;
  int t,f;
  for(f=start,t=len-1;t >= 0 ; f++,t--)
  res += a[f]*my_10_pow(t) ;
  
  return res ;
}  
  
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++)
  m[i][0] = w(1,i,a) ;
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /*DP 過程。。。。*/
  for(j=1; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
    if( i <= j) /*如果長度小于乘號的個數(shù)，則值為0*/
    m[i][j] = 0 ;
    else
    {
    
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w(d+1,i-d,a)) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    }
    
  }
  
}
     
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*讀入數(shù)據(jù)*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 maxdp(n,k,a) ;
 
 printf("max = %ld ",m[n][k]) ;
 
 system("pause");
 
 return 0;
}

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